1. Determine whether the system of linear equations x+y+z=3,2x-y-z=3,x-y+z=9 has No solution

Solution:
Here `x+y+z=3`
`2x-y-z=3`
`x-y+z=9`

`|D|`

=

`1`   `1`   `1`   `2`   `-1`   `-1`   `1`   `-1`   `1`

=

`1`   ×    `-1`   `-1`   `-1`   `1`

`-1`   ×    `2`   `-1`   `1`   `1`

`+1`   ×    `2`   `-1`   `1`   `-1`

`=1 xx (-1 × 1 - (-1) × (-1)) -1 xx (2 × 1 - (-1) × 1) +1 xx (2 × (-1) - (-1) × 1)`

`=1 xx (-1 -1) -1 xx (2 +1) +1 xx (-2 +1)`

`=1 xx (-2) -1 xx (3) +1 xx (-1)`

`= -2 -3 -1`

`=-6`

`|D_1|`

=

`3`   `1`   `1`   `3`   `-1`   `-1`   `9`   `-1`   `1`

=

`3`   ×    `-1`   `-1`   `-1`   `1`

`-1`   ×    `3`   `-1`   `9`   `1`

`+1`   ×    `3`   `-1`   `9`   `-1`

`=3 xx (-1 × 1 - (-1) × (-1)) -1 xx (3 × 1 - (-1) × 9) +1 xx (3 × (-1) - (-1) × 9)`

`=3 xx (-1 -1) -1 xx (3 +9) +1 xx (-3 +9)`

`=3 xx (-2) -1 xx (12) +1 xx (6)`

`= -6 -12 +6`

`=-12`

`|D_2|`

=

`1`   `3`   `1`   `2`   `3`   `-1`   `1`   `9`   `1`

=

`1`   ×    `3`   `-1`   `9`   `1`

`-3`   ×    `2`   `-1`   `1`   `1`

`+1`   ×    `2`   `3`   `1`   `9`

`=1 xx (3 × 1 - (-1) × 9) -3 xx (2 × 1 - (-1) × 1) +1 xx (2 × 9 - 3 × 1)`

`=1 xx (3 +9) -3 xx (2 +1) +1 xx (18 -3)`

`=1 xx (12) -3 xx (3) +1 xx (15)`

`= 12 -9 +15`

`=18`

`|D_3|`

=

`1`   `1`   `3`   `2`   `-1`   `3`   `1`   `-1`   `9`

=

`1`   ×    `-1`   `3`   `-1`   `9`

`-1`   ×    `2`   `3`   `1`   `9`

`+3`   ×    `2`   `-1`   `1`   `-1`

`=1 xx (-1 × 9 - 3 × (-1)) -1 xx (2 × 9 - 3 × 1) +3 xx (2 × (-1) - (-1) × 1)`

`=1 xx (-9 +3) -1 xx (18 -3) +3 xx (-2 +1)`

`=1 xx (-6) -1 xx (15) +3 xx (-1)`

`= -6 -15 -3`

`=-24`


Here `D=-6,D_1=-12,D_2=18,D_3=-24`

Here, `D!=0`

Hence, given system has unique solution (System of equation is consistent)