|
|
|
|
Code is changed on 22.07.2025, Now it also works for Complex Number.
For wrong or incomplete solution, please submit the feedback form.
So, I will try my best to improve it soon.
|
|
|
|
|
|
|
Solution
|
Solution provided by AtoZmath.com
|
|
|
|
QR Decomposition (Householder Method) calculator
|
 1. `[[1,-1,4],[1,4,-2],[1,4,2],[1,-1,0]]`
2. `[[1,-4],[2,3],[2,2]]`
3. `[[3,-6],[4,-8],[0,1]]`
4. `[[1,2,4],[0,0,5],[0,3,6]]`
|
Example1. Find QR Decomposition (Householder Method) ...
`[[1,-1,4],[1,4,-2],[1,4,2],[1,-1,0]]`Solution:| Here `A` | = | | `1` | `-1` | `4` | | | `1` | `4` | `-2` | | | `1` | `4` | `2` | | | `1` | `-1` | `0` | |
|
| `A_1` | = | | `1` | `-1` | `4` | | | `1` | `4` | `-2` | | | `1` | `4` | `2` | | | `1` | `-1` | `0` | |
|
`||a_1||=sqrt((1)^2+(1)^2+(1)^2+(1)^2)=sqrt(4)=2` | `v_1=a_1+sign(a_(11))||a_1||e_1` | = | | + | 2 | `xx` | | = | |
| `H_1=I-2*(v_1*v_1^T)/(v_1^T*v_1)` | = | | `-` | `2/12` | `*` | | `*` | | = | | `-0.5` | `-0.5` | `-0.5` | `-0.5` | | | `-0.5` | `0.8333333333` | `-0.1666666667` | `-0.1666666667` | | | `-0.5` | `-0.1666666667` | `0.8333333333` | `-0.1666666667` | | | `-0.5` | `-0.1666666667` | `-0.1666666667` | `0.8333333333` | |
|
| `H_1 * A_1` | = | | `-0.5` | `-0.5` | `-0.5` | `-0.5` | | | `-0.5` | `0.8333333333` | `-0.1666666667` | `-0.1666666667` | | | `-0.5` | `-0.1666666667` | `0.8333333333` | `-0.1666666667` | | | `-0.5` | `-0.1666666667` | `-0.1666666667` | `0.8333333333` | |
| `xx` | | `1` | `-1` | `4` | | | `1` | `4` | `-2` | | | `1` | `4` | `2` | | | `1` | `-1` | `0` | |
| = | | `-2` | `-3` | `-2` | | | `0` | `3.3333333333` | `-4` | | | `0` | `3.3333333333` | `0` | | | `0` | `-1.6666666667` | `-2` | |
|
Now removing 1st row and 1st column, we get | `A_2` | = | | `3.3333333333` | `-4` | | | `3.3333333333` | `0` | | | `-1.6666666667` | `-2` | |
|
| `a_2` | = | | `3.3333333333` | | | `3.3333333333` | | | `-1.6666666667` | |
|
`||a_2||=sqrt((3.3333333333)^2+(3.3333333333)^2+(-1.6666666667)^2)=sqrt(25)=5` | `v_2=a_2+sign(a_(11))||a_2||e_1` | = | | `3.3333333333` | | | `3.3333333333` | | | `-1.6666666667` | |
| + | 5 | `xx` | | = | | `8.3333333333` | | | `3.3333333333` | | | `-1.6666666667` | |
|
| `H_2=I-2*(v_2*v_2^T)/(v_2^T*v_2)` | = | | `-` | `2/83.3333333333` | `*` | | `8.3333333333` | | | `3.3333333333` | | | `-1.6666666667` | |
| `*` | | [ | `8.3333333333` | `3.3333333333` | `-1.6666666667` | ] |
| = | | `-0.6666666667` | `-0.6666666667` | `0.3333333333` | | | `-0.6666666667` | `0.7333333333` | `0.1333333333` | | | `0.3333333333` | `0.1333333333` | `0.9333333333` | |
|
| `H_2 * A_2` | = | | `-0.6666666667` | `-0.6666666667` | `0.3333333333` | | | `-0.6666666667` | `0.7333333333` | `0.1333333333` | | | `0.3333333333` | `0.1333333333` | `0.9333333333` | |
| `xx` | | `3.3333333333` | `-4` | | | `3.3333333333` | `0` | | | `-1.6666666667` | `-2` | |
| = | |
Now removing 1st row and 1st column, we get `||a_3||=sqrt((2.4)^2+(-3.2)^2)=sqrt(16)=4` | `v_3=a_3+sign(a_(11))||a_3||e_1` | = | | + | 4 | `xx` | | = | |
| `H_3=I-2*(v_3*v_3^T)/(v_3^T*v_3)` | = | | `-` | `2/51.2` | `*` | | `*` | | = | |
Since, `H_3H_2H_1A=R` | `H_3H_2H_1A=` | | `1` | `0` | `0` | `0` | | | `0` | `1` | `0` | `0` | | | `0` | `0` | `-0.6` | `0.8` | | | `0` | `0` | `0.8` | `0.6` | |
| `xx` | | `1` | `0` | `0` | `0` | | | `0` | `-0.6666666667` | `-0.6666666667` | `0.3333333333` | | | `0` | `-0.6666666667` | `0.7333333333` | `0.1333333333` | | | `0` | `0.3333333333` | `0.1333333333` | `0.9333333333` | |
| `xx` | | `-0.5` | `-0.5` | `-0.5` | `-0.5` | | | `-0.5` | `0.8333333333` | `-0.1666666667` | `-0.1666666667` | | | `-0.5` | `-0.1666666667` | `0.8333333333` | `-0.1666666667` | | | `-0.5` | `-0.1666666667` | `-0.1666666667` | `0.8333333333` | |
| `xx` | | `1` | `-1` | `4` | | | `1` | `4` | `-2` | | | `1` | `4` | `2` | | | `1` | `-1` | `0` | |
| = | | `-2` | `-3` | `-2` | | | `0` | `-5` | `2` | | | `0` | `0` | `-4` | | | `0` | `0` | `0` | |
| = R |
Also `A=H_1H_2H_3R` and `A=QR`, `:.Q=H_1H_2H_3` | `Q=H_1H_2H_3`= | | `-0.5` | `-0.5` | `-0.5` | `-0.5` | | | `-0.5` | `0.8333333333` | `-0.1666666667` | `-0.1666666667` | | | `-0.5` | `-0.1666666667` | `0.8333333333` | `-0.1666666667` | | | `-0.5` | `-0.1666666667` | `-0.1666666667` | `0.8333333333` | |
| `xx` | | `1` | `0` | `0` | `0` | | | `0` | `-0.6666666667` | `-0.6666666667` | `0.3333333333` | | | `0` | `-0.6666666667` | `0.7333333333` | `0.1333333333` | | | `0` | `0.3333333333` | `0.1333333333` | `0.9333333333` | |
| `xx` | | `1` | `0` | `0` | `0` | | | `0` | `1` | `0` | `0` | | | `0` | `0` | `-0.6` | `0.8` | | | `0` | `0` | `0.8` | `0.6` | |
| = | | `-0.5` | `0.5` | `-0.5` | `-0.5` | | | `-0.5` | `-0.5` | `0.5` | `-0.5` | | | `-0.5` | `-0.5` | `-0.5` | `0.5` | | | `-0.5` | `0.5` | `0.5` | `0.5` | |
|
checking `Q xx R = A?` | `Q xx R` | = | | `-0.5` | `0.5` | `-0.5` | `-0.5` | | | `-0.5` | `-0.5` | `0.5` | `-0.5` | | | `-0.5` | `-0.5` | `-0.5` | `0.5` | | | `-0.5` | `0.5` | `0.5` | `0.5` | |
| `xx` | | `-2` | `-3` | `-2` | | | `0` | `-5` | `2` | | | `0` | `0` | `-4` | | | `0` | `0` | `0` | |
| = | | `1` | `-1` | `4` | | | `1` | `4` | `-2` | | | `1` | `4` | `2` | | | `1` | `-1` | `0` | |
|
| and `A` | = | | `1` | `-1` | `4` | | | `1` | `4` | `-2` | | | `1` | `4` | `2` | | | `1` | `-1` | `0` | |
|
Solution is possible. |
|
|
|
|
|
