Solve Equations x+y+z=3,2x-y-z=3,x-y+z=9 using Cramer's Rule method

Solution:
The equations can be expressed as
`x+y+z-3=0`

`2x-y-z-3=0`

`x-y+z-9=0`

Use Cramer's Rule to find the values of x, y, z.
`(x)/D_x=(-y)/D_y=(z)/D_z=(-1)/D`

`D_x`

=

`1`   `1`   `-3`   `-1`   `-1`   `-3`   `-1`   `1`   `-9`

=

`1`   ×    `-1`   `-3`   `1`   `-9`

`-1`   ×    `-1`   `-3`   `-1`   `-9`

`-3`   ×    `-1`   `-1`   `-1`   `1`

`=1 xx (-1 × (-9) - (-3) × 1) -1 xx (-1 × (-9) - (-3) × (-1)) -3 xx (-1 × 1 - (-1) × (-1))`

`=1 xx (9 +3) -1 xx (9 -3) -3 xx (-1 -1)`

`=1 xx (12) -1 xx (6) -3 xx (-2)`

`= 12 -6 +6`

`=12`

`D_y`

=

`1`   `1`   `-3`   `2`   `-1`   `-3`   `1`   `1`   `-9`

=

`1`   ×    `-1`   `-3`   `1`   `-9`

`-1`   ×    `2`   `-3`   `1`   `-9`

`-3`   ×    `2`   `-1`   `1`   `1`

`=1 xx (-1 × (-9) - (-3) × 1) -1 xx (2 × (-9) - (-3) × 1) -3 xx (2 × 1 - (-1) × 1)`

`=1 xx (9 +3) -1 xx (-18 +3) -3 xx (2 +1)`

`=1 xx (12) -1 xx (-15) -3 xx (3)`

`= 12 +15 -9`

`=18`

`D_z`

=

`1`   `1`   `-3`   `2`   `-1`   `-3`   `1`   `-1`   `-9`

=

`1`   ×    `-1`   `-3`   `-1`   `-9`

`-1`   ×    `2`   `-3`   `1`   `-9`

`-3`   ×    `2`   `-1`   `1`   `-1`

`=1 xx (-1 × (-9) - (-3) × (-1)) -1 xx (2 × (-9) - (-3) × 1) -3 xx (2 × (-1) - (-1) × 1)`

`=1 xx (9 -3) -1 xx (-18 +3) -3 xx (-2 +1)`

`=1 xx (6) -1 xx (-15) -3 xx (-1)`

`= 6 +15 +3`

`=24`

`D`

=

`1`   `1`   `1`   `2`   `-1`   `-1`   `1`   `-1`   `1`

=

`1`   ×    `-1`   `-1`   `-1`   `1`

`-1`   ×    `2`   `-1`   `1`   `1`

`+1`   ×    `2`   `-1`   `1`   `-1`

`=1 xx (-1 × 1 - (-1) × (-1)) -1 xx (2 × 1 - (-1) × 1) +1 xx (2 × (-1) - (-1) × 1)`

`=1 xx (-1 -1) -1 xx (2 +1) +1 xx (-2 +1)`

`=1 xx (-2) -1 xx (3) +1 xx (-1)`

`= -2 -3 -1`

`=-6`


`(x)/D_x=(-y)/D_y=(z)/D_z=(-1)/D`

`:.(x)/12=(-y)/18=(z)/24=(-1)/-6`

`:.(x)/12=(-1)/-6,(-y)/18=(-1)/-6,(z)/24=(-1)/-6`

`:.x=(-12)/(-6),y=(18)/(-6),z=(-24)/(-6)`

`:.x=2,y=-3,z=4`

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