is Nilpotent Matrix Example-2

2. is Nilpotent Matrix ?
`[[2,2,3],[1,2,3],[-1,-2,-3]]`

Solution:

A square matrix `A` is called a nilpotent matrix, if `A^m = 0` for some positive integer m.

`A`

`2`	`2`	`3`
`1`	`2`	`3`
`-1`	`-2`	`-3`

`A×A`

`2`	`2`	`3`
`1`	`2`	`3`
`-1`	`-2`	`-3`

`2`	`2`	`3`
`1`	`2`	`3`
`-1`	`-2`	`-3`

`2×2+2×1+3×-1`	`2×2+2×2+3×-2`	`2×3+2×3+3×-3`
`1×2+2×1+3×-1`	`1×2+2×2+3×-2`	`1×3+2×3+3×-3`
`-1×2-2×1-3×-1`	`-1×2-2×2-3×-2`	`-1×3-2×3-3×-3`

`4+2-3`	`4+4-6`	`6+6-9`
`2+2-3`	`2+4-6`	`3+6-9`
`-2-2+3`	`-2-4+6`	`-3-6+9`

`3`	`2`	`3`
`1`	`0`	`0`
`-1`	`0`	`0`

`(A^2)×A`

`3`	`2`	`3`
`1`	`0`	`0`
`-1`	`0`	`0`

`2`	`2`	`3`
`1`	`2`	`3`
`-1`	`-2`	`-3`

`3×2+2×1+3×-1`	`3×2+2×2+3×-2`	`3×3+2×3+3×-3`
`1×2+0×1+0×-1`	`1×2+0×2+0×-2`	`1×3+0×3+0×-3`
`-1×2+0×1+0×-1`	`-1×2+0×2+0×-2`	`-1×3+0×3+0×-3`

`6+2-3`	`6+4-6`	`9+6-9`
`2+0+0`	`2+0+0`	`3+0+0`
`-2+0+0`	`-2+0+0`	`-3+0+0`

`5`	`4`	`6`
`2`	`2`	`3`
`-2`	`-2`	`-3`

`(A^3)×A`

`5`	`4`	`6`
`2`	`2`	`3`
`-2`	`-2`	`-3`

`2`	`2`	`3`
`1`	`2`	`3`
`-1`	`-2`	`-3`

`5×2+4×1+6×-1`	`5×2+4×2+6×-2`	`5×3+4×3+6×-3`
`2×2+2×1+3×-1`	`2×2+2×2+3×-2`	`2×3+2×3+3×-3`
`-2×2-2×1-3×-1`	`-2×2-2×2-3×-2`	`-2×3-2×3-3×-3`

`10+4-6`	`10+8-12`	`15+12-18`
`4+2-3`	`4+4-6`	`6+6-9`
`-4-2+3`	`-4-4+6`	`-6-6+9`

`8`	`6`	`9`
`3`	`2`	`3`
`-3`	`-2`	`-3`

`(A^4)×A`

`8`	`6`	`9`
`3`	`2`	`3`
`-3`	`-2`	`-3`

`2`	`2`	`3`
`1`	`2`	`3`
`-1`	`-2`	`-3`

`8×2+6×1+9×-1`	`8×2+6×2+9×-2`	`8×3+6×3+9×-3`
`3×2+2×1+3×-1`	`3×2+2×2+3×-2`	`3×3+2×3+3×-3`
`-3×2-2×1-3×-1`	`-3×2-2×2-3×-2`	`-3×3-2×3-3×-3`

`16+6-9`	`16+12-18`	`24+18-27`
`6+2-3`	`6+4-6`	`9+6-9`
`-6-2+3`	`-6-4+6`	`-9-6+9`

`13`	`10`	`15`
`5`	`4`	`6`
`-5`	`-4`	`-6`

`(A^5)×A`

`13`	`10`	`15`
`5`	`4`	`6`
`-5`	`-4`	`-6`

`2`	`2`	`3`
`1`	`2`	`3`
`-1`	`-2`	`-3`

`13×2+10×1+15×-1`	`13×2+10×2+15×-2`	`13×3+10×3+15×-3`
`5×2+4×1+6×-1`	`5×2+4×2+6×-2`	`5×3+4×3+6×-3`
`-5×2-4×1-6×-1`	`-5×2-4×2-6×-2`	`-5×3-4×3-6×-3`

`26+10-15`	`26+20-30`	`39+30-45`
`10+4-6`	`10+8-12`	`15+12-18`
`-10-4+6`	`-10-8+12`	`-15-12+18`

`21`	`16`	`24`
`8`	`6`	`9`
`-8`	`-6`	`-9`

`(A^6)×A`

`21`	`16`	`24`
`8`	`6`	`9`
`-8`	`-6`	`-9`

`2`	`2`	`3`
`1`	`2`	`3`
`-1`	`-2`	`-3`

`21×2+16×1+24×-1`	`21×2+16×2+24×-2`	`21×3+16×3+24×-3`
`8×2+6×1+9×-1`	`8×2+6×2+9×-2`	`8×3+6×3+9×-3`
`-8×2-6×1-9×-1`	`-8×2-6×2-9×-2`	`-8×3-6×3-9×-3`

`42+16-24`	`42+32-48`	`63+48-72`
`16+6-9`	`16+12-18`	`24+18-27`
`-16-6+9`	`-16-12+18`	`-24-18+27`

`34`	`26`	`39`
`13`	`10`	`15`
`-13`	`-10`	`-15`

`(A^7)×A`

`34`	`26`	`39`
`13`	`10`	`15`
`-13`	`-10`	`-15`

`2`	`2`	`3`
`1`	`2`	`3`
`-1`	`-2`	`-3`

`34×2+26×1+39×-1`	`34×2+26×2+39×-2`	`34×3+26×3+39×-3`
`13×2+10×1+15×-1`	`13×2+10×2+15×-2`	`13×3+10×3+15×-3`
`-13×2-10×1-15×-1`	`-13×2-10×2-15×-2`	`-13×3-10×3-15×-3`

`68+26-39`	`68+52-78`	`102+78-117`
`26+10-15`	`26+20-30`	`39+30-45`
`-26-10+15`	`-26-20+30`	`-39-30+45`

`55`	`42`	`63`
`21`	`16`	`24`
`-21`	`-16`	`-24`

`(A^8)×A`

`55`	`42`	`63`
`21`	`16`	`24`
`-21`	`-16`	`-24`

`2`	`2`	`3`
`1`	`2`	`3`
`-1`	`-2`	`-3`

`55×2+42×1+63×-1`	`55×2+42×2+63×-2`	`55×3+42×3+63×-3`
`21×2+16×1+24×-1`	`21×2+16×2+24×-2`	`21×3+16×3+24×-3`
`-21×2-16×1-24×-1`	`-21×2-16×2-24×-2`	`-21×3-16×3-24×-3`

`110+42-63`	`110+84-126`	`165+126-189`
`42+16-24`	`42+32-48`	`63+48-72`
`-42-16+24`	`-42-32+48`	`-63-48+72`

`89`	`68`	`102`
`34`	`26`	`39`
`-34`	`-26`	`-39`

`A` is not a nilpotent matrix

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2. Example-2