is Periodic Matrix Definition & Examples

1. is Periodic Matrix ?
[1-2-6-32920-3] $[[1,-2,-6],[-3,2,9],[2,0,-3]]$

Solution:

A square matrix

A $A$ is called a periodic matrix, if

Am=A $A^m = A$ for some positive integer m.

A $A$

1 $1$	-2 $-2$	-6 $-6$
-3 $-3$	2 $2$	9 $9$
2 $2$	0 $0$	-3 $-3$

A×A $A×A$

1 $1$	-2 $-2$	-6 $-6$
-3 $-3$	2 $2$	9 $9$
2 $2$	0 $0$	-3 $-3$

1 $1$	-2 $-2$	-6 $-6$
-3 $-3$	2 $2$	9 $9$
2 $2$	0 $0$	-3 $-3$

1×1-2×-3-6×2 $1×1-2×-3-6×2$	1×-2-2×2-6×0 $1×-2-2×2-6×0$	1×-6-2×9-6×-3 $1×-6-2×9-6×-3$
-3×1+2×-3+9×2 $-3×1+2×-3+9×2$	-3×-2+2×2+9×0 $-3×-2+2×2+9×0$	-3×-6+2×9+9×-3 $-3×-6+2×9+9×-3$
2×1+0×-3-3×2 $2×1+0×-3-3×2$	2×-2+0×2-3×0 $2×-2+0×2-3×0$	2×-6+0×9-3×-3 $2×-6+0×9-3×-3$

1+6-12 $1+6-12$	-2-4+0 $-2-4+0$	-6-18+18 $-6-18+18$
-3-6+18 $-3-6+18$	6+4+0 $6+4+0$	18+18-27 $18+18-27$
2+0-6 $2+0-6$	-4+0+0 $-4+0+0$	-12+0+9 $-12+0+9$

-5 $-5$	-6 $-6$	-6 $-6$
9 $9$	10 $10$	9 $9$
-4 $-4$	-4 $-4$	-3 $-3$

(A2)×A $(A^2)×A$

-5 $-5$	-6 $-6$	-6 $-6$
9 $9$	10 $10$	9 $9$
-4 $-4$	-4 $-4$	-3 $-3$

1 $1$	-2 $-2$	-6 $-6$
-3 $-3$	2 $2$	9 $9$
2 $2$	0 $0$	-3 $-3$

-5×1-6×-3-6×2 $-5×1-6×-3-6×2$	-5×-2-6×2-6×0 $-5×-2-6×2-6×0$	-5×-6-6×9-6×-3 $-5×-6-6×9-6×-3$
9×1+10×-3+9×2 $9×1+10×-3+9×2$	9×-2+10×2+9×0 $9×-2+10×2+9×0$	9×-6+10×9+9×-3 $9×-6+10×9+9×-3$
-4×1-4×-3-3×2 $-4×1-4×-3-3×2$	-4×-2-4×2-3×0 $-4×-2-4×2-3×0$	-4×-6-4×9-3×-3 $-4×-6-4×9-3×-3$

-5+18-12 $-5+18-12$	10-12+0 $10-12+0$	30-54+18 $30-54+18$
9-30+18 $9-30+18$	-18+20+0 $-18+20+0$	-54+90-27 $-54+90-27$
-4+12-6 $-4+12-6$	8-8+0 $8-8+0$	24-36+9 $24-36+9$

1 $1$	-2 $-2$	-6 $-6$
-3 $-3$	2 $2$	9 $9$
2 $2$	0 $0$	-3 $-3$

Here

A3=A $A^3 = A$ , so

A $A$ is a periodic matrix of period 2

2. is Periodic Matrix ?
[2-2-6-32920-3] $[[2,-2,-6],[-3,2,9],[2,0,-3]]$

Solution:

A square matrix

A $A$ is called a periodic matrix, if

Am=A $A^m = A$ for some positive integer m.

A $A$

2 $2$	-2 $-2$	-6 $-6$
-3 $-3$	2 $2$	9 $9$
2 $2$	0 $0$	-3 $-3$

A×A $A×A$

2 $2$	-2 $-2$	-6 $-6$
-3 $-3$	2 $2$	9 $9$
2 $2$	0 $0$	-3 $-3$

2 $2$	-2 $-2$	-6 $-6$
-3 $-3$	2 $2$	9 $9$
2 $2$	0 $0$	-3 $-3$

2×2-2×-3-6×2 $2×2-2×-3-6×2$	2×-2-2×2-6×0 $2×-2-2×2-6×0$	2×-6-2×9-6×-3 $2×-6-2×9-6×-3$
-3×2+2×-3+9×2 $-3×2+2×-3+9×2$	-3×-2+2×2+9×0 $-3×-2+2×2+9×0$	-3×-6+2×9+9×-3 $-3×-6+2×9+9×-3$
2×2+0×-3-3×2 $2×2+0×-3-3×2$	2×-2+0×2-3×0 $2×-2+0×2-3×0$	2×-6+0×9-3×-3 $2×-6+0×9-3×-3$

4+6-12 $4+6-12$	-4-4+0 $-4-4+0$	-12-18+18 $-12-18+18$
-6-6+18 $-6-6+18$	6+4+0 $6+4+0$	18+18-27 $18+18-27$
4+0-6 $4+0-6$	-4+0+0 $-4+0+0$	-12+0+9 $-12+0+9$

-2 $-2$	-8 $-8$	-12 $-12$
6 $6$	10 $10$	9 $9$
-2 $-2$	-4 $-4$	-3 $-3$

(A2)×A $(A^2)×A$

-2 $-2$	-8 $-8$	-12 $-12$
6 $6$	10 $10$	9 $9$
-2 $-2$	-4 $-4$	-3 $-3$

2 $2$	-2 $-2$	-6 $-6$
-3 $-3$	2 $2$	9 $9$
2 $2$	0 $0$	-3 $-3$

-2×2-8×-3-12×2 $-2×2-8×-3-12×2$	-2×-2-8×2-12×0 $-2×-2-8×2-12×0$	-2×-6-8×9-12×-3 $-2×-6-8×9-12×-3$
6×2+10×-3+9×2 $6×2+10×-3+9×2$	6×-2+10×2+9×0 $6×-2+10×2+9×0$	6×-6+10×9+9×-3 $6×-6+10×9+9×-3$
-2×2-4×-3-3×2 $-2×2-4×-3-3×2$	-2×-2-4×2-3×0 $-2×-2-4×2-3×0$	-2×-6-4×9-3×-3 $-2×-6-4×9-3×-3$

-4+24-24 $-4+24-24$	4-16+0 $4-16+0$	12-72+36 $12-72+36$
12-30+18 $12-30+18$	-12+20+0 $-12+20+0$	-36+90-27 $-36+90-27$
-4+12-6 $-4+12-6$	4-8+0 $4-8+0$	12-36+9 $12-36+9$

-4 $-4$	-12 $-12$	-24 $-24$
0 $0$	8 $8$	27 $27$
2 $2$	-4 $-4$	-15 $-15$

(A3)×A $(A^3)×A$

-4 $-4$	-12 $-12$	-24 $-24$
0 $0$	8 $8$	27 $27$
2 $2$	-4 $-4$	-15 $-15$

2 $2$	-2 $-2$	-6 $-6$
-3 $-3$	2 $2$	9 $9$
2 $2$	0 $0$	-3 $-3$

-4×2-12×-3-24×2 $-4×2-12×-3-24×2$	-4×-2-12×2-24×0 $-4×-2-12×2-24×0$	-4×-6-12×9-24×-3 $-4×-6-12×9-24×-3$
0×2+8×-3+27×2 $0×2+8×-3+27×2$	0×-2+8×2+27×0 $0×-2+8×2+27×0$	0×-6+8×9+27×-3 $0×-6+8×9+27×-3$
2×2-4×-3-15×2 $2×2-4×-3-15×2$	2×-2-4×2-15×0 $2×-2-4×2-15×0$	2×-6-4×9-15×-3 $2×-6-4×9-15×-3$

-8+36-48 $-8+36-48$	8-24+0 $8-24+0$	24-108+72 $24-108+72$
0-24+54 $0-24+54$	0+16+0 $0+16+0$	0+72-81 $0+72-81$
4+12-30 $4+12-30$	-4-8+0 $-4-8+0$	-12-36+45 $-12-36+45$

-20 $-20$	-16 $-16$	-12 $-12$
30 $30$	16 $16$	-9 $-9$
-14 $-14$	-12 $-12$	-3 $-3$

(A4)×A $(A^4)×A$

-20 $-20$	-16 $-16$	-12 $-12$
30 $30$	16 $16$	-9 $-9$
-14 $-14$	-12 $-12$	-3 $-3$

2 $2$	-2 $-2$	-6 $-6$
-3 $-3$	2 $2$	9 $9$
2 $2$	0 $0$	-3 $-3$

-20×2-16×-3-12×2 $-20×2-16×-3-12×2$	-20×-2-16×2-12×0 $-20×-2-16×2-12×0$	-20×-6-16×9-12×-3 $-20×-6-16×9-12×-3$
30×2+16×-3-9×2 $30×2+16×-3-9×2$	30×-2+16×2-9×0 $30×-2+16×2-9×0$	30×-6+16×9-9×-3 $30×-6+16×9-9×-3$
-14×2-12×-3-3×2 $-14×2-12×-3-3×2$	-14×-2-12×2-3×0 $-14×-2-12×2-3×0$	-14×-6-12×9-3×-3 $-14×-6-12×9-3×-3$

-40+48-24 $-40+48-24$	40-32+0 $40-32+0$	120-144+36 $120-144+36$
60-48-18 $60-48-18$	-60+32+0 $-60+32+0$	-180+144+27 $-180+144+27$
-28+36-6 $-28+36-6$	28-24+0 $28-24+0$	84-108+9 $84-108+9$

-16 $-16$	8 $8$	12 $12$
-6 $-6$	-28 $-28$	-9 $-9$
2 $2$	4 $4$	-15 $-15$

(A5)×A $(A^5)×A$

-16 $-16$	8 $8$	12 $12$
-6 $-6$	-28 $-28$	-9 $-9$
2 $2$	4 $4$	-15 $-15$

2 $2$	-2 $-2$	-6 $-6$
-3 $-3$	2 $2$	9 $9$
2 $2$	0 $0$	-3 $-3$

-16×2+8×-3+12×2 $-16×2+8×-3+12×2$	-16×-2+8×2+12×0 $-16×-2+8×2+12×0$	-16×-6+8×9+12×-3 $-16×-6+8×9+12×-3$
-6×2-28×-3-9×2 $-6×2-28×-3-9×2$	-6×-2-28×2-9×0 $-6×-2-28×2-9×0$	-6×-6-28×9-9×-3 $-6×-6-28×9-9×-3$
2×2+4×-3-15×2 $2×2+4×-3-15×2$	2×-2+4×2-15×0 $2×-2+4×2-15×0$	2×-6+4×9-15×-3 $2×-6+4×9-15×-3$

-32-24+24 $-32-24+24$	32+16+0 $32+16+0$	96+72-36 $96+72-36$
-12+84-18 $-12+84-18$	12-56+0 $12-56+0$	36-252+27 $36-252+27$
4-12-30 $4-12-30$	-4+8+0 $-4+8+0$	-12+36+45 $-12+36+45$

-32 $-32$	48 $48$	132 $132$
54 $54$	-44 $-44$	-189 $-189$
-38 $-38$	4 $4$	69 $69$

(A6)×A $(A^6)×A$

-32 $-32$	48 $48$	132 $132$
54 $54$	-44 $-44$	-189 $-189$
-38 $-38$	4 $4$	69 $69$

2 $2$	-2 $-2$	-6 $-6$
-3 $-3$	2 $2$	9 $9$
2 $2$	0 $0$	-3 $-3$

-32×2+48×-3+132×2 $-32×2+48×-3+132×2$	-32×-2+48×2+132×0 $-32×-2+48×2+132×0$	-32×-6+48×9+132×-3 $-32×-6+48×9+132×-3$
54×2-44×-3-189×2 $54×2-44×-3-189×2$	54×-2-44×2-189×0 $54×-2-44×2-189×0$	54×-6-44×9-189×-3 $54×-6-44×9-189×-3$
-38×2+4×-3+69×2 $-38×2+4×-3+69×2$	-38×-2+4×2+69×0 $-38×-2+4×2+69×0$	-38×-6+4×9+69×-3 $-38×-6+4×9+69×-3$

-64-144+264 $-64-144+264$	64+96+0 $64+96+0$	192+432-396 $192+432-396$
108+132-378 $108+132-378$	-108-88+0 $-108-88+0$	-324-396+567 $-324-396+567$
-76-12+138 $-76-12+138$	76+8+0 $76+8+0$	228+36-207 $228+36-207$

56 $56$	160 $160$	228 $228$
-138 $-138$	-196 $-196$	-153 $-153$
50 $50$	84 $84$	57 $57$

(A7)×A $(A^7)×A$

56 $56$	160 $160$	228 $228$
-138 $-138$	-196 $-196$	-153 $-153$
50 $50$	84 $84$	57 $57$

2 $2$	-2 $-2$	-6 $-6$
-3 $-3$	2 $2$	9 $9$
2 $2$	0 $0$	-3 $-3$

56×2+160×-3+228×2 $56×2+160×-3+228×2$	56×-2+160×2+228×0 $56×-2+160×2+228×0$	56×-6+160×9+228×-3 $56×-6+160×9+228×-3$
-138×2-196×-3-153×2 $-138×2-196×-3-153×2$	-138×-2-196×2-153×0 $-138×-2-196×2-153×0$	-138×-6-196×9-153×-3 $-138×-6-196×9-153×-3$
50×2+84×-3+57×2 $50×2+84×-3+57×2$	50×-2+84×2+57×0 $50×-2+84×2+57×0$	50×-6+84×9+57×-3 $50×-6+84×9+57×-3$

112-480+456 $112-480+456$	-112+320+0 $-112+320+0$	-336+1440-684 $-336+1440-684$
-276+588-306 $-276+588-306$	276-392+0 $276-392+0$	828-1764+459 $828-1764+459$
100-252+114 $100-252+114$	-100+168+0 $-100+168+0$	-300+756-171 $-300+756-171$

88 $88$	208 $208$	420 $420$
6 $6$	-116 $-116$	-477 $-477$
-38 $-38$	68 $68$	285 $285$

(A8)×A $(A^8)×A$

88 $88$	208 $208$	420 $420$
6 $6$	-116 $-116$	-477 $-477$
-38 $-38$	68 $68$	285 $285$

2 $2$	-2 $-2$	-6 $-6$
-3 $-3$	2 $2$	9 $9$
2 $2$	0 $0$	-3 $-3$

88×2+208×-3+420×2 $88×2+208×-3+420×2$	88×-2+208×2+420×0 $88×-2+208×2+420×0$	88×-6+208×9+420×-3 $88×-6+208×9+420×-3$
6×2-116×-3-477×2 $6×2-116×-3-477×2$	6×-2-116×2-477×0 $6×-2-116×2-477×0$	6×-6-116×9-477×-3 $6×-6-116×9-477×-3$
-38×2+68×-3+285×2 $-38×2+68×-3+285×2$	-38×-2+68×2+285×0 $-38×-2+68×2+285×0$	-38×-6+68×9+285×-3 $-38×-6+68×9+285×-3$

176-624+840 $176-624+840$	-176+416+0 $-176+416+0$	-528+1872-1260 $-528+1872-1260$
12+348-954 $12+348-954$	-12-232+0 $-12-232+0$	-36-1044+1431 $-36-1044+1431$
-76-204+570 $-76-204+570$	76+136+0 $76+136+0$	228+612-855 $228+612-855$

392 $392$	240 $240$	84 $84$
-594 $-594$	-244 $-244$	351 $351$
290 $290$	212 $212$	-15 $-15$

A $A$ is not a periodic matrix

This material is intended as a summary. Use your textbook for detail explanation.
Any bug, improvement, feedback then Submit Here

1. Definition & Examples