1. Find Null Space ...
`[[1,-2,0,3,-4],[3,2,8,1,4],[2,3,7,2,3],[-1,2,0,4,-3]]`

Solution:

	`1`	`-2`	`0`	`3`	`-4`
	`3`	`2`	`8`	`1`	`4`
	`2`	`3`	`7`	`2`	`3`
	`-1`	`2`	`0`	`4`	`-3`

Now, reduce the matrix to reduced row echelon form
`R_2 larr R_2-3xx R_1`

=	`1` `-2` `0` `3` `-4` `0` `8` `8` `-8` `16` `2` `3` `7` `2` `3` `-1` `2` `0` `4` `-3`

`R_3 larr R_3-2xx R_1`

=	`1` `-2` `0` `3` `-4` `0` `8` `8` `-8` `16` `0` `7` `7` `-4` `11` `-1` `2` `0` `4` `-3`

`R_4 larr R_4+ R_1`

=	`1` `-2` `0` `3` `-4` `0` `8` `8` `-8` `16` `0` `7` `7` `-4` `11` `0` `0` `0` `7` `-7`

`R_2 larr R_2-:8`

=	`1` `-2` `0` `3` `-4` `0` `1` `1` `-1` `2` `0` `7` `7` `-4` `11` `0` `0` `0` `7` `-7`

`R_1 larr R_1+2xx R_2`

=	`1` `0` `2` `1` `0` `0` `1` `1` `-1` `2` `0` `7` `7` `-4` `11` `0` `0` `0` `7` `-7`

`R_3 larr R_3-7xx R_2`

=	`1` `0` `2` `1` `0` `0` `1` `1` `-1` `2` `0` `0` `0` `3` `-3` `0` `0` `0` `7` `-7`

`R_3 larr R_3-:3`

=	`1` `0` `2` `1` `0` `0` `1` `1` `-1` `2` `0` `0` `0` `1` `-1` `0` `0` `0` `7` `-7`

`R_1 larr R_1- R_3`

=	`1` `0` `2` `0` `1` `0` `1` `1` `-1` `2` `0` `0` `0` `1` `-1` `0` `0` `0` `7` `-7`

`R_2 larr R_2+ R_3`

=	`1` `0` `2` `0` `1` `0` `1` `1` `0` `1` `0` `0` `0` `1` `-1` `0` `0` `0` `7` `-7`

`R_4 larr R_4-7xx R_3`

=	`1` `0` `2` `0` `1` `0` `1` `1` `0` `1` `0` `0` `0` `1` `-1` `0` `0` `0` `0` `0`

The rank of a matrix is the number of non all-zeros rows
`:. Rank = 3`

Null Space :
Now, solve the matrix equation

`1` `0` `2` `0` `1` `0` `1` `1` `0` `1` `0` `0` `0` `1` `-1` `0` `0` `0` `0` `0`

`x_1` `x_2` `x_3` `x_4` `x_5`

=

`0` `0` `0` `0`

`x_1+2x_3+x_5=0`

`x_2+x_3+x_5=0`

`x_4-x_5=0`

Add equation for each free variable
`x_1+2x_3+x_5=0`

`x_2+x_3+x_5=0`

`x_3=x_3`

`x_4-x_5=0`

`x_5=x_5`

Solve for each variable in terms of the free variables
`x_1=-2x_3-x_5`

`x_2=-x_3-x_5`

`x_3=x_3`

`x_4=x_5`

`x_5=x_5`

Convert this into vectors

`x_1` `x_2` `x_3` `x_4` `x_5`

=

`-2x_3-x_5` `-x_3-x_5` `x_3` `x_5` `x_5`

=

`[[-2],[-1],[1],[0],[0]]`

`x_3`

`+`

`[[-1],[-1],[0],[1],[1]]`

`x_5`

Thus, the basis for the null space is
`[[-2],[-1],[1],[0],[0]],[[-1],[-1],[0],[1],[1]]`